Найвідоміший фрактал у світі: що таке множина Мандельброта і звідки воно взялося

Якщо випадкову людину попросити приклад фракталу, вона, ймовірно, назве множину Мандельборта — один із найвідоміших творів математики у світі. Частково популярність цього фракталу пов'язана з його психоделічним візуальним ефектом, але вчені радять не зосереджуватися тільки на цьому факті, оскільки історія його відкриття також вельми цікава, пише IFLScience.

У Фокус. Технології з'явився свій Telegram-канал. Підписуйтесь, щоб не пропускати найсвіжіші та найзахопливіші новини зі світу науки!

То що ж насправді являє собою множину Мандельброта? І звідки вона взагалі взялася? За словами вчених, множина Мандельборта за своєю суттю є фракталом. Зазначимо, що є два способи визначення фракталів:

• нечіткий, який досить простий для розуміння;
• математичний строгий спосіб.

За словами Майкла Роуз зі Школи математичних і фізичних наук Ньюкаслського університету, фрактали надзвичайно складно визначити точно. Більшість із них пов'язані набором із чотирьох загальних фрактальних характеристик:

• нескінченна можливість;
• симетрія масштабування;
• складність із простоти;
• дробові значення.

Таким чином, фрактал — складна форма, створена за дуже простими правилами: незалежно від того, наскільки ви "збільшуєте масштаб", вона ніколи не стане простішою або більш гладкою, ніж вона була від початку.

До чого тут Бенуа Мандельборт

Бенуа Мандельборт, який роївся в Польщі 1924 року, неймовірно важливий для історії фрактальної геометрії. Дослідники вважають, що він міг "бачити" відповіді на важливі математичні питання, що визначають цілу галузь геометрії — фрактальну геометрію. Саме він, по суті, озвучив і довів, що фрактали є геометрією природи.

Мандельброт, можливо, найвідоміше ім'я, пов'язане з фракталами, але він не був першим, хто їх відкрив. Фактично, для концепції, настільки поширеної в усьому світі, відкриття фракталів було насправді довгим і копітким процесом, а кожне нове відкриття в цій царині часом з'являлося через десятиліття після попереднього.

За словами математика з Університету Сент-Ендрюса Холлі Троше, у 19 столітті математика займалася тільки функціями, які створювали диференційовані криві. Однак 18 липня 1872 року Карл Вейєрштрасс представив доповідь у Королівській прусській академії наук, що показує перший строго доведений приклад функції, яка є аналітичною, але не диференційованою.

У 1883 році Георг Кантор представив свою множину Кантора — слово для неї ще не було вигадано, але пізніше її визнали одним із найперших фракталів, визначених у математиці. Кілька десятиліть потому Хельге фон Кох створив криву Коха і сніжинку — також фрактали, хоча він і не вважав їх такими.

Наприкінці 1910-х років з'явилися три гіганти фрактальної геометрії, без яких Мандельборт, імовірно, не став би настільки відомим і успішним у цій галузі:

• Фелікс Гаусдорф, який 1918 року ввів поняття розмірності Гаусдорфа;
• пара французьких математиків П'єр Фату і Гастон Жюліа.

Двоє останніх і надихнули Мандельборта. Гастон Жюліа винайшов множину Жюліа — набір точок, де, скільки б разів ви не застосовували до них будь-яку функцію, вони ніколи не спрямуються в нескінченність.

За допомогою комп'ютерної графіки Мандельборт зміг показати, як робота Жюліа, по суті, є джерелом деяких із найкрасивіших фракталів, відомих сьогодні. Щоб досягти цього, йому довелося розробити нові математичні ідеї та деякі з перших комп'ютерних програм для друку графіки.

У результаті ця робота призвела до відкриття множини Мандельборта, яку багато вчених тепер вважають "квінтесенцією фракталу".

Раніше Фокус писав про те, що найособливіша молекула у світі зібралася в трикутник Серпінського.