Математичні "межі безладу": вчені впоралися з проблемою Ремзі, якій майже сотня років (відео)

Нещодавно дослідники з Каліфорнійського університету в Сан-Дієго розв'язали проблему, яка спантеличувала математиків протягом майже століття — складну загадку, відому як проблема Ремзі, а саме r(4,t), пише ScienceAlert.

У Фокус.Технології з'явився свій Telegram-канал. Підписуйтесь, щоб не пропускати найсвіжіші та найзахопливіші новини зі світу науки!

У світі математики існує так звана теорія Ремзі, яка полягає в пошуку порядку в тому, що здається безладом. Подумайте про це так: якою б складною не здавалася велика система, якщо ви подивитеся на меншу її частину, то знайдете певну структуру або порядок. Це так, ніби наш мозок запрограмований шукати закономірності та порядок посеред хаосу.

Числа Ремзі — це як межі безладу в математиці. Вони представляють своєрідний порядок, прихований у складних системах. Конкретна проблема, яку розв'язали математики Сем Маттеус і Жак Верстрате, відома як r(4,t) — це загадка, яка ставила науковців у глухий кут вже понад 90 років.

Для розуміння теорії Ремзі часто використовують аналогію з ідеєю запрошення людей на вечірку. Питання полягає в тому, скільки людей потрібно запросити, щоб принаймні троє з них вже знали одне одного, або принаймні троє з них були абсолютно незнайомі одне одному? Це можна виразити через r(s,t), і ми вже знаємо, що r(3,3) дорівнює 6.

Інакше кажучи, це фундаментальна математична істина, що в групі з шести осіб ви завжди знайдете або трьох друзів, або трьох незнайомців. Це може здатися простим, але це глибоке поняття в математиці.

Щоб розв'язати проблему Ремзі, математики зазвичай звертаються до випадкових графів, де стосунки між людьми представлені лініями. Проблема полягає в тому, що чим більшим стає граф, тим складніше знайти порядок у хаосі.

У 1930-х роках математики вивели теорему, яка стверджувала, що r(4,4) дорівнює 18, а з 1995 року ми знаємо, що r(4,5) дорівнює 25. Отже, якщо ви хочете, щоб на вашій вечірці не було ні чотирьох друзів, ні п'яти незнайомців, вам слід обмежити список гостей до 24 або менше.

Практичне значення цього може здатися незрозумілим, коли йдеться про вечірки, але у світі математики та комп'ютерних наук розуміння чисел Ремзі має вирішальне значення. Воно допомагає структурувати комунікаційні мережі та створювати алгоритми для виявлення шахрайства зокрема.

Оскільки знайти точні числа Ремзі неймовірно складно, математики часто шукають оцінки — найкращі припущення щодо того, якими можуть бути ці числа. У 2019 році Верстрате та математик Дхрув Мубаї знайшли спосіб покращити ці оцінки, використовуючи псевдовипадкові графіки для r(3,t).

Однак пара натрапила з труднощами під час спроби створити псевдовипадковий графік для r(4,t). Щоб розв'язати цю проблему, вони об'єднали області скінченної геометрії та теорії графів і використали математичний інструмент, який називається ермітівським уніталом.

Після майже року роботи і подолання різних математичних перешкод вони зробили прорив. Вони виявили, що r(4,t) поводиться як кубічна функція від t. Простіше кажучи, якщо ви влаштовуєте вечірку з чотирма людьми, які всі знають одне одного, або з t людьми, які незнайомі одне з одним, вам знадобиться t^3 людей, щоб забезпечити бажаний результат.

Хоча цей результат є приблизним, він дуже близький до точної відповіді. Математично їхній висновок можна виразити так: r(4,t) = Ω(t^3/log^4t), оскільки t наближається до нескінченності.

Дослідницька група вважає, що їхній підхід може бути корисним для розв'язання інших чисел Ремсі та оцінки різних математичних функцій. Як каже Верстрате: "Ніколи не слід здаватися, незалежно від того, скільки часу це займе. Якщо ви вважаєте, що проблема важка і ви застрягли, це означає, що це хороша проблема".

Отже, навіть у світі математики наполегливість приносить свої плоди.

Раніше Фокус писав, чому ванних кімнат не існувало до XIX століття. Коли впродовж ХІХ століття купання стало нормою середнього класу, соціальні реформатори намагалися зробити ванну доступною для всіх. Але навіть ті сім'ї, які мали кошти для її побудови, не обов'язково наслідували приклад багатіїв.